Ohmsches Gesetz

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Entdeckung des ohmschen Gesetzes (Deutsche Bundespost 1994)

Als ohmsches Gesetz – benannt nach seinem Entdecker Georg Simon Ohm – wird die bei bestimmten elektrischen Leitern vorliegende lineare Abhängigkeit des Spannungsabfalls <math>U</math> vom hindurchfließenden elektrischen Strom <math>I</math> bezeichnet. Also:

Die Proportionalitätskonstante wird dabei als elektrischer Widerstand des Bauteils bezeichnet und mit <math>R</math> notiert, womit sich die Gleichung

ergibt. Um die Proportionalität von Spannung und Stromstärke bei konstantem Widerstand zu betonen, schreibt man auch

<math>R = \frac{U}{I} = \mathrm{const.}</math>

Durch diese Gleichung wird der ohmsche Widerstand, der dem elektrischen Widerstand entspricht, definiert.

Inhaltsverzeichnis

1 Feldstärke und Stromdichte
2 Mikroskopische Betrachtungsweise / maxwellsche Materialgleichung
3 Gültigkeitsbereich
4 Weblinks

[bearbeiten] Feldstärke und Stromdichte

Zusammenhänge im ohmschen Gesetz

Den Widerstand eines Materials kann man bezüglich der geometrischen Abmessungen des Materials darstellen:

wobei <math>l</math> die Länge und <math>A</math> die Querschnittsfläche des betrachteten Leiters und <math>\rho</math> der spezifische elektrische Widerstand ist. Zusätzlich gilt:

wobei <math>\vec e</math> der Einheitsvektor in Betrachtungsrichtung und <math>\vec b</math> bzw. <math>\vec h</math> die Vektoren der Breite bzw. Höhe des betrachteten Flächenelements ist (siehe Abbildung).

Dadurch lässt sich das ohmsche Gesetz folgendermaßen ausdrücken:

<math>U=R\cdot I=\rho\cdot\frac{l}{A}\cdot I \Leftrightarrow \frac{U}{l}=\rho\cdot\frac{I}{A}</math>

Mit

(<math>\vec e</math> bezeichnet jeweils den Einheitsvektor in die im Index angegebene Richtung) folgt daraus die Gleichung:

<math>\vec E=\rho\,\vec j \Leftrightarrow \vec j=\sigma\,\vec E</math> mit <math>\rho = \sigma^{-1}</math>

Hierbei ist <math>E</math> die elektrische Feldstärke, <math>J</math> die elektrische Stromdichte und <math>\sigma</math> der spezifische elektrische Leitwert. Die elektrische Stromdichte wird hierbei in der Literatur auch mit <math>j</math> oder <math>S</math> bezeichnet.

Der spezifische elektrische Leitwert <math>\sigma</math> – und folglich auch der spezifische elektrische Widerstand <math>\rho</math> – sind von der Feldstärke <math>E</math> bzw. der Stromdichte <math>J</math> abhängig. Ist diese Abhängigkeit im Betriebsbereich des Materials vernachlässigbar gering, so spricht man von einem linearen Leiter bzw. einem linear wirkenden Leiter.

[bearbeiten] Mikroskopische Betrachtungsweise / maxwellsche Materialgleichung

In einer mikroskopischen Betrachtung wird das ohmsche Gesetz durch die lineare Abhängigkeit zwischen dem Stromdichte-Vektorfeld <math>\mathbf{\vec j}_m</math> und dem elektrischen Feldstärke-Vektorfeld <math>\mathbf{\vec E}_n</math> beschrieben, also

<math>\mathbf{\vec{j}}_m = \mathbf{\sigma}_{mn} \, \mathbf{\vec{E}}_n</math>.

In isotropen Materialien ist der Tensor <math>\sigma_{mn}</math> durch einen Skalar approximierbar und es gilt:

<math>\vec j=\mathbf{\sigma}\,\vec{E}</math>.

Wenn man die Bewegung freier Elektronen wie die ungeordnete Molekülbewegung eines Gases betrachtet, kann man Konstanz der elektrischen Leitfähigkeit plausibel machen. Die Zähldichte <math>n</math> der Elektronen ist dann innerhalb des Leiters konstant. Die mittlere Geschwindigkeit <math>\bar v</math> der Elektronen ist

<math>\bar v=10{,}6\cdot 10^6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math>.

Die mittlere Wegstrecke <math>\lambda</math> zwischen zwei Stößen an Ionen im Metall wird in einer typischen Zeit <math>\tau_s</math> zurückgelegt:

<math>\lambda=\bar{v}\,\tau_s</math>

In dieser Zeit erfahren die Elektronen eine Beschleunigung <math>a</math> durch das angelegte elektrische Feld mit

<math>a=\frac{e\,E}{m_e}</math>,

wobei <math>e</math> die Elementarladung und <math>m_e</math> die Elektronenmasse ist. Die Elektronen erreichen somit eine Driftgeschwindigkeit <math>v_d</math> mit <math>v_d = a \tau_s</math>. Setzt man dieses in die Gleichung für <math>\sigma</math> ein, erhält man:

<math>\sigma = \frac{j}{E} = \frac{n\,e\,v_d}{E} = \frac{n\,e\,a\,\tau_s}{E} = \frac{n\,e^2\tau_s}{m_e} = \frac{n\,e^2\lambda}{m_e\,\bar v}</math>.

Die Größen <math>\lambda</math> und <math>\bar v</math> hängen nur von der Geschwindigkeitsverteilung innerhalb der „Elektronenwolke“ ab. Da die Driftgeschwindigkeit aber ca. 10 Größenordnungen kleiner ist als die mittlere Geschwindigkeit <math>\bar v</math>, ändert sich die Geschwindigkeitsverteilung durch das Anlegen eines elektrischen Feldes nicht und <math>\lambda</math> und <math>\tau_s</math> sind konstant und somit der ganze Ausdruck für <math>\sigma</math>.

[bearbeiten] Gültigkeitsbereich

Das ohmsche Gesetz macht nur eine Aussage des Verhältnisses zwischen Strom und Spannung (bzw. zwischen Stromdichte und Feldstärke). Die Abhängigkeit des Stromflusses von weiteren Größen (Temperatur, Magnetfeld, Beleuchtung, …) wird durch das ohmsche Gesetz nicht beschrieben; auch wenn dies standardmäßig in der Literatur und von (fast allen) Lehrern so dargestellt wird. Aus diesem Grund ist das ohmsche Gesetz nur eine Näherung, d. h., in der Realität ist der Stromfluss auch von den oben genannten Größen abhängig.

Zwischen Strom und Spannung gilt im Gleichstromfall für hysteresefreie, sprungstellenfreien Widerstände unter Vernachlässigung weiterer Umgebungsbedingungen:

<math>U = R_0 + R_1 \cdot I + R_2 \cdot I \cdot I + R_3 \cdot I \cdot I \cdot I + \ldots </math> (Potenzreihenentwicklung von <math>U(I)</math> im Punkt <math>I = 0</math>).

Von ohmschen Widerstand spricht man, wenn alle Terme bis auf <math>R_1</math> verschwinden bzw. bei dem gerade betrachteten Strombereich vernachlässigbar sind. Von differentiellem ohmschen Widerstand spricht man, wenn alle Terme bis auf <math>R_0</math> und <math>R_1</math> verschwinden. Bei großen Stromdichten sind alle Widerstände nicht mehr als ohmscher Widerstand approximierbar.

Obige Herleitung zeigt auch, dass das Gesetz wahrscheinlich nicht mehr gilt, wenn die Frequenz eines angelegten E-Feldes in die Nähe der Größe gelangt oder größer wird als das Inverse der mittleren Zeit zwischen zwei Stößen (siehe Plasmafrequenz).