Frequenzgang

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Der Frequenzgang beschreibt das Verhalten eines linearen zeitinvarianten Systems (etwa einer Lautsprecherbox oder eines Filters in der Analogtechnik).

Amplitudengang eines passiven Tiefpassfilters erster Ordnung

Zur Ermittlung des Frequenzgangs wird die Ausgangsgröße mit der Eingangsgröße verglichen. Das Ergebnis dieses Vergleichs wird über der Frequenz für das jeweilige Amplitudenverhältnis und die jeweilige Phasenlage im Ausgangs- und Eingangssignal aufgetragen. Werden sie in getrennten Graphen dargestellt, so werden sie als Amplitudengang (Betragsfrequenzgang) bzw. als Phasengang (Phasenfrequenzgang) bezeichnet. Die kombinierte Darstellung wird auch Bode-Diagramm genannt. Betrag und Phase lassen sich für jede Frequenz auch als komplexe Zahl ausdrücken. Wird der Frequenzgang solchermaßen durch einen Realteil und einen Imaginärteil über der Frequenz dargestellt, so spricht man vom komplexen Frequenzgang.

Häufig interessiert auch nur der Amplitudengang. Dieser wird dann schon allein als Frequenzgang bezeichnet.

[bearbeiten] Mathematische Herleitung

Der Frequenzgang (in der Schwingungstechnik häufig als Übertragungsfunktion bezeichnet) ist die am häufigsten verwendete Funktion in der Signalanalyse. Er dient zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens von Systemen, wobei in der Regel – bei Mehrfreiheitsgradsystemen – eine Frequenzgangmatrix notwendig ist, deren Elemente durch sämtliche mögliche Einzel-Frequenzgänge zwischen jeweils zwei Messpunkten bzw. Messrichtungen gebildet werden. In der Regel wird zur Systemidentifikation (Modalanalyse) als Eingangsgröße x(t) eine Kraft gewählt; als Ausgangsgrößen werden meistens die aus der Krafterregung resultierenden Auslenkungen, Schwingschnellen oder Beschleunigungen herangezogen. Ist das dynamische Verhalten einer Struktur bekannt, so kann z. B. die Schwingungsantwort an jeder Messstelle aufgrund einer beliebig vorgegebenen Anregung an einer anderen Messstelle mit Hilfe des zugehörigen Frequenzganges bestimmt werden.

Die anschaulichste Beziehung zur Berechnung von Frequenzgängen lautet:

<math>

H_0 (f) = \frac{Y (f)}{X (f)} \, </math>, (1)

wobei X(f) und Y(f) die Fouriertransformierten des Eingangs- und des Ausgangssignals x(t) bzw. y(t) repräsentieren (siehe Signalanalyse). Sie liefert jedoch nur unter idealen Bedingungen (siehe unten) den exakten Frequenzgang H(f). In der Praxis sind Eingangs- und/oder Ausgangssignal mehr oder weniger verrauscht, so dass in der Signalanalysetechnik meistens zwei andere Berechnungsverfahren eingesetzt werden, bei denen die Tatsache ausgenutzt wird, dass sich bei der Berechnung von Kreuzleistungsspektren nicht korrelierte Signalanteile (z.B. Rauschen oder Störanteile) herausmitteln. Die Beziehung

<math>

H_1 (f) = \frac{S_{XY} (f)}{S_{XX} (f)} \, </math>, (2)

in der S_XY das Kreuzleistungsspektrum und S_XX das Autoleistungsspektrum des Eingangssignals repräsentieren, resultiert aus der Erweiterung des Quotienten in Gleichung (1) mit der konjugiert Komplexen X · (f) der Fouriertransformierten des Eingangssignals. Sie ist besonders geeignet, wenn die Eingangsgröße störungsfrei ermittelt werden kann. Durch Erweiterung mit der entsprechenden konjugiert Komplexen Y*(f) des Ausgangsspektrums erhält man

<math>

H_2 (f) = \frac{S_{YY} (f)}{S_{YX} (f)} \, </math> (3),

mit S_YX(f) = S*_XY(f). Diese Berechnungsmethode ist immer dann angezeigt, wenn das Ausgangssignal y(t) störungsfrei vorliegt. Sind die beiden Signale x(t) und y(t) vollständig kohärent, so gilt: