Elektrischer Widerstand

Aus Wikitronic

Der elektrische Widerstand ist in der Elektrotechnik ein Maß dafür, welche elektrische Spannung erforderlich ist, um einen bestimmten elektrischen Strom durch einen elektrischen Leiter fließen zu lassen. Als Formelzeichen für den elektrischen Widerstand wird in der Regel R – wahrscheinlich abgeleitet vom Lateinischen resistere für „widerstehen“ (evtl. auch von den französischen oder englischen Entsprechungen, genaue Herkunft unbekannt) verwendet. Der Widerstand hat die SI-Einheit Ohm, sein Einheitenzeichen ist das große Omega (<math>\Omega</math>).

Verwandt mit dem Widerstand ist der spezifische elektrische Widerstand (Formelzeichen <math>\rho</math>). Bei diesem Wert handelt es sich um eine temperaturabhängige Materialkonstante, die eine von der geometrischen Form des ausgeführten Leiters unabhängige Beschreibung der Widerstandseigenschaft ermöglicht.

[bearbeiten] Geschichte

Die elektrische Ladung war seit Coulomb bekannt, die elektrische Spannung seit Volta und die Wirkung des elektrischen Stromes seit Ampère. Ohm kannte die Kraftwirkung der elektrischen Spannung, deshalb konnte er Spannungen durch Kraftmessungen bestimmen. Die Stärke von Strömen konnte er anhand chemischer Prozesse quantitativ bestimmen. Man wusste, dass elektrische Ströme etwas mit der Bewegung der coulombschen Ladungen zu tun haben. Die gesetzmäßigen Zusammenhänge zwischen Spannung und Stromstärke waren unbekannt.

Erste Versuche ließen keine klaren Gesetzmäßigkeiten erkennen. Erst als Ohm <ref> Georg Simon Ohm: Die galvanische Kette. [Reprint der Ausg., [Riemann], 1827] Oekonomie-Verl. Müller im VDM, Saarbrücken, 2006. ISBN 3939962031</ref> begann, einen langen und sehr dünnen stromdurchflossenen Draht auf möglichst konstanter Temperatur zu halten, erkannte er die Proportionalität zwischen Spannung und Stromstärke:

Diese Proportionalität zwischen Spannung und Stromstärke wird durch das von ihm formulierte und nach ihm benannte ohmsche Gesetz beschrieben:

Der von U und I unabhängige Proportionalitätsfaktor R ist der elektrische Widerstand. Dieses einfach erscheinende Gesetz wurde zu einer Zeit gefunden, als es noch keine „richtigen“ Spannungsquellen gab, geschweige denn Spannungs- oder Strommesser. Zudem waren die Messungen von anderen physikalischen Effekten überlagert. Auch waren die Begriffe Spannung, Stromstärke und Widerstand noch nicht allgemein etabliert. Erst vor diesem Hintergrund kann man seine wissenschaftliche Leistung würdigen.

Ohm war aber in Deutschland kein angesehener Wissenschaftler, Professuren wurden ihm zunächst verweigert. Das änderte sich erst, als ihm zahlreiche Würdigungen aus dem Ausland zuteil wurden.

[bearbeiten] Ohmscher Widerstand

Ein ohmscher Widerstand ist ein spezieller elektrischer Widerstand, dessen Widerstandswert (zumindest innerhalb gewisser Grenzen) unabhängig von der Spannung, der Stromstärke und der Frequenz ist. Daher gilt an einem ohmschen Widerstand das ohmsche Gesetz für beliebige Spannungen, Ströme und Frequenzen. Wenn man bei einem solchen ohmschen Widerstand in Form eines U-I-Diagramms die Stromstärke über der Spannung aufträgt, so erhält man eine Ursprungsgerade, der Zusammenhang ist direkt proportional - oder gleichbedeutend:

<math>R = \frac U I = const.\!\,; \quad U \sim I</math>

Näherungsweise und mit Einschränkungen kann ein ohmscher Widerstand durch ein Bauelement − im einfachsten Fall ein Metalldraht − realisiert werden, das üblicherweise auch einfach Widerstand genannt wird.

[bearbeiten] Gleichstromwiderstand

In Gleichstromkreisen gilt für viele wichtige Leiter (z. B. Metalldrähte, Elektrolytlösungen) das ohmsche Gesetz, das heißt die Stromstärke <math>I</math> ist proportional zur angelegten Spannung <math>U</math>. Der Proportionalitätsfaktor heißt elektrischer Leitwert <math>G</math> des Leiters. Er ist der Kehrwert des elektrischen Widerstands <math>R</math>.

Es gilt:

<math>U</math> = elektrische Spannung

<math>I</math> = elektrische Stromstärke

Die Konstante <math>R</math> wird als Gleichstromwiderstand bezeichnet.

[bearbeiten] Berechnung des Widerstands eines Leiters

Der elektrische Widerstand eines Körpers lässt sich über seine geometrischen Abmessungen und eine materialspezifische Konstante, den spezifischen Widerstand <math>\rho</math>, berechnen.

Für einen in Längsrichtung durchflossenen geraden Leiter mit konstanter Querschnittsfläche A und der Länge l gilt:

Die Querschnittsfläche <math>A</math> berechnet sich für runde Drähte mit dem Durchmesser <math>d</math> nach der Formel:

Bei der Berechnung sollte aber beachtet werden, dass der spezifische Widerstand von der Temperatur abhängig ist.

[bearbeiten] Temperaturabhängigkeit

**Beispiele für spezifischen Widerstand und Temperaturkoeffizient bei 20 °C**
Material	ρ₂₀ in (Ω·mm²)/m	α₂₀ in 1/K
Silber	1,587 · 10^-2	3,8 · 10^-3
Kupfer	1,786 · 10^-2	3,9 · 10^-3
Silizium	2,3 . 10⁹	-7,5 · 10^-2

Der elektrische Widerstand eines Leiters ist im Wesentlichen von seiner Temperatur und der Frequenz der Spannung abhängig.

Die Frequenzabhängigkeit kann man leicht umgehen, wenn man Gleichstrom verwendet. Dafür wird auch der Begriff Gleichstromwiderstand verwendet. Wie oben beschrieben, berechnet sich der Gleichstromwiderstand eines geraden Leiters durch:

<math>

R_{20}=\rho_{20} \cdot \frac{l}{A} </math>

Dieses gilt aber nur für die Temperatur, für die der angegebene spezifische Widerstand gilt. Wenn nicht anders angegeben, gilt dieses für eine Ausgangstemperatur von 20 °C. Darauf weist auch die 20 im Index von R hin.

Grundsätzlich ist aber der Widerstand temperaturabhängig. Dieses gilt für alle Materialien.

Dieses Verhalten ist materialabhängig und wird mit dem Linear-Temperaturkoeffizienten α und der Bestimmung des Temperaturunterschieds (<math>\Delta T = T - T_0</math>) berechenbar. Im allgemeinen beschreibt man diese Änderung durch eine Linearisierung

<math>R(T) = R(T_0)(1 + \alpha_{T_0} \cdot (T-T_0))</math>

bei

<math>T_0 = 20\,^{\circ}\mathrm{C}.</math>

Für die meisten Materialien und Anwendungen mit nicht zu großen Temperaturbereichen reicht diese lineare Näherung aus, da die Temperaturkoeffizienten höherer Ordnungen dann vernachlässigbar klein sind.

Je nachdem, ob der Widerstandswert mit steigender Temperatur größer oder kleiner wird, unterscheidet man zwischen Kaltleitern oder PTC (Widerstandswert steigt, prinzipiell bei allen Metallen; PTC: positive temperature coefficient) und Heißleitern oder NTC (Widerstandswert sinkt; NTC: negative temperature coefficient).

In der Technik wird die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes ausgenutzt, zum Beispiel beim Thermostaten und Widerstandsthermometer (Beispiel: Thermometer mit Pt100-Fühlern) oder bei Thermo-Anemometern (Windmessgeräten).

Es gibt auch verschiedene spezielle Metall-Legierungen, die sich durch einen über weite Temperaturbereiche annähernd konstanten spezifischen elektrischen Widerstand auszeichnen, → Messwiderstand.

[bearbeiten] Wechselstromwiderstand

An einem linearen, rein ohmschen Widerstand R, der von Wechselstrom durchflossen wird, sind Spannung und Strom in Phase. Wenn allerdings eine kapazitive oder induktive Komponente X hinzukommt, bewirkt dies eine frequenzabhängige Phasenverschiebung und Widerstandsänderung, da die hinzu kommende Komponente auf Spannungs- bzw. Stromänderungen verzögernd reagiert. Der Quotient aus den Amplituden oder Effektivwerten von Spannung und Strom wird als Scheinwiderstand Z bezeichnet. In der komplexen Wechselstromrechnung wird der Scheinwiderstand mit dem Phasenverschiebungswinkel φ als Impedanz oder komplexer Widerstand <math> {\underline {Z}} </math> zusammengefasst. Durch Zerlegung in rechtwinklige Komponenten ergeben sich der Wirkwiderstand R und der Blindwiderstand X, der durch Kapazitäten beziehungsweise Induktivitäten verursacht wird (siehe Beispiel). Der Wirkwiderstand, welcher nicht frequenzabhängig ist, wird auch als ohmscher Anteil der Impedanz bezeichnet.

<math> {\underline {Z}} = \frac{{\underline {u}}} {{\underline {i}}}= \frac {u_{\rm max} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t + \varphi_u)}}{i_{\rm max} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t + \varphi_i)} } = Z \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\varphi_u - \varphi_i)} = Z \cdot [\cos \varphi_z + \mathrm{j} \sin \varphi_z ]</math>

<math>\varphi_u - \varphi_i = \varphi_z</math>

Durch Zerlegung in rechtwinklige Komponenten (siehe hier)

<math>\operatorname {Im} ({\underline {Z}}) = Z \cdot \sin (\varphi_z) = X</math> (Blindwiderstand)

<math>\operatorname {Re} ({\underline {Z}}) = Z \cdot \cos (\varphi_z) = R</math> (Wirkwiderstand)

folgt für die Impedanz:

<math> {\underline {Z}} = R + \mathrm{j}X = \sqrt {R^2 + X^2} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j} \cdot \arctan (\frac XR)}</math>

Es ergibt sich der Scheinwiderstand:

<math>Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \frac {u_{\rm max}}{i_{\rm max}}= \frac {u_{\rm eff}}{i_{\rm eff}} = \frac {|\underline u|}{|\underline i|}</math>

und der Phasenverschiebungswinkel zwischen U und I :

<math>\varphi_z = \arctan \left(\frac XR\right)</math>

[bearbeiten] Zusammenhänge

<math>{|\underline {Z}|}= Z</math>

<math>X = X_C \ </math> = kapazitiver Blindwiderstand

oder

<math>X = X_L \ </math> = induktiver Blindwiderstand

Wie weiter unter gezeigt wird, ist

<math> X_L </math> ≥ 0 und <math> X_C </math> ≤ 0 .

[bearbeiten] Wirkwiderstand ist Null

Für R = 0 ergibt sich:

<math>\varphi_z = \arctan \left(\frac {X}{0}\right) </math>

für X > 0 ist <math>\varphi_z=+90^\circ </math> , und für X < 0 ist <math>\varphi_z =-90^\circ </math>

<math>{\underline {Z}}= \mathrm{j}Z = \mathrm{j}|X|</math>

[bearbeiten] Blindwiderstand ist Null

Für X = 0 ergibt sich:

<math>\varphi_z = \arctan \left(\frac 0R\right) = \arctan (0) = 0^\circ </math>

<math>{\underline {Z}}= Z =R </math>

[bearbeiten] Induktiver Widerstand und kapazitiver Widerstand

Induktiver Widerstand und kapazitiver Widerstand sind Blindwiderstände. Da sie Zwischenspeicher für Energie sind, der Kondensator für elektrostatische Energie, die Spule für magnetische Energie, bewirken sie eine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom. Solche idealisierten Bauelemente wandeln keine Energie in Wärme oder mechanisch wirksame Energie um. In der Praxis haben die Bauelemente aber immer einen (eher unerwünschten) ohmschen Anteil.

Der induktive Widerstand einer idealen Spule ist bei Gleichspannung null und wird bei sinusförmigem Wechselspannung proportional zu der Frequenz f größer:

Der kapazitive Widerstand eines idealen Kondensators ist bei Gleichspannung unendlich und sinkt bei sinusförmiger Wechselspannung in seinem Betrag umgekehrt proportional zur Frequenz f :

Bei genauer Betrachtung hat aber auch jeder Kondensator einen kleinen induktiven Anteil, so wie eine Spule auch einen kapazitiven Anteil hat. Selbst ein Stück Draht muss exakt mit R, C und L beschrieben werden. Dies zeigt sich dann im Besonderen, wenn die Bauteile mit ihren geometrischen Abmessungen in den Bereich der Wellenlänge der angelegten Wechselspannung kommen, dann besitzen sie einen nicht zu vernachlässigenden sowohl induktiven, als auch einen kapazitiven Anteil. Sie werden gegebenenfalls zum Schwingkreis, als Beispiel sei hier die Antenne genannt. Die Enden dürfen als Kondensatorplatten gesehen werden, der "Draht" dazwischen als Spule.

Beispiel

Kapazitive Blindleistung unkompensiert

Blindleistung kompensiert

Die nebenstehende Parallelschaltung aus einem Widerstand und einem Kondensator ist am 230-V-Stromnetz angeschlossen, bei 50 Hz fließen die angegebenen Ströme. Durch den Widerstand fließt 2,3 A Wirkstrom, der bezahlt werden muss, auf den Blindstrom von 1,45 A darf der Elektrizitätszähler nicht reagieren und die Anschlussleitung muss für den Gesamtstrom von 2,72 A bemessen sein. Einer Wirkleistung von 529 W steht eine Blindleistung von 334 W gegenüber, die zwischen Generator und Kondensator pendelt und Leitungen und Trafos unnötig belastet.

Zur Kompensation dieser Blindleistung wird eine passend gewählte Induktivität von 0,5 H parallel zum Gerät geschaltet, deren Blindstrom ebenfalls 1,45 A beträgt. Die Blindströme von Kondensator und Spule kompensieren sich auf Grund ihrer entgegengesetzten Phasenlagen und die gesamte Stromaufnahme sinkt auf 2,3 A. Die Parallelschaltung aus L und C stellt im Idealfall einen Schwingkreis dar, der keinen Strom aufnimmt.

[bearbeiten] Schwingkreis

Durch die Parallel- beziehungsweise Reihenschaltung von Kapazität und Induktivität entsteht ein Schwingkreis. Ein Schwingkreis hat einen frequenzabhängigen elektrischen Widerstand, der in der Nachbarschaft der Resonanzfrequenz extrem (minimal bei Reihenschaltung beziehungsweise maximal bei Parallelschaltung) wird. Dieser Effekt wird unter anderem angewendet, um aus einem Gemisch von Signalen unterschiedlicher Frequenz eine bestimmte Frequenz herauszufiltern.

Beim realen Schwingkreis treten Kondensatorverluste und Spulenverluste durch deren ohmschen Widerstand auf. Den ohmschen Widerstand des Kondensators kann man aber meistens vernachlässigen. Bezeichnet man den Spulenwiderstand in derem Reihenersatzschaltbild mit <math>R_L </math> , so ergibt sich für den Resonanzwiderstand im Parallelschwingkreis:

<math>

Z_{\rm r} = \frac{L}{R_L C}\, </math>

Dieser wird bei der Resonanzfrequenz erreicht, die mit der thomsonschen Schwingungsgleichung berechnet werden kann:

<math>

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\, </math>

[bearbeiten] Der elektrische Widerstand im Teilchenmodell

Die physikalische Beschreibung benutzt die Vorstellung, dass sich die Valenzelektronen im Metall wie ein Gas (Elektronengas) verhalten. Im einfachsten Modell bildet das Metall ein positiv homogen geladenes Volumen, in denen sich die Elektronen frei bewegen können. In dieses Volumen sind die Atomrümpfe eingebettet, die aus dem Atomkern und den stärker gebundenen Elektronen auf den tieferen, vollbesetzten Schalen bestehen.

Ohne äußere elektrische Spannung bewegen sich die Elektronen ungeordnet im Metall (siehe: brownsche Bewegung). Legt man nun eine Spannung an die zwei Seiten an, so werden die freien Elektronen durch das elektrischen Feld in Richtung der Feldlinien beschleunigt. Es fließt ein elektrischer Strom.

Auf ihrem Weg durch das Metall kommt es zu elastischen Stößen der Elektronen mit anderen Elektronen, den Atomrümpfen und Phononen. Dabei geben die Elektronen Energie an ihre Stoßpartner ab, werden gestreut und wieder durch das elektrische Feld beschleunigt. Die Elektronen werden durch diese Wechselwirkung dauernd abgebremst und es stellt sich eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit ein.

Die bei diesen Stößen an die Atomrümpfe beziehungsweise Phononen übertragene Energie führt zu einer größeren Eigenschwingung um ihre Gleichgewichtslage, ihre Temperatur erhöht sich. Durch die stärkeren Schwingungen erhöht sich die Querschnittsfläche für mögliche Stöße, deren Anzahl mit steigender Temperatur zunimmt und den Widerstand steigen lässt (Kaltleiter). Der Leitungsvorgang in Heißleitern kann mit diesem Modell nicht vollständig erklärt werden, da es hier mit steigender Temperatur zu einer deutlichen Ladungsträgergeneration kommt, die den eben beschriebenen Vorgang überlagern.

Bei sehr hohen Temperaturen, bei denen die Atome des Materials ionisiert werden (Plasma), ist jeder Stoff elektrisch leitend, da die vorher gebundenen Elektronen nun für den Ladungstransport zur Verfügung stehen. Umgekehrt sind Metalle und Oxide bekannt, für die der elektrische Widerstand bei sehr niedrigen Temperaturen unterhalb der so genannten Sprungtemperatur verschwindet: Supraleiter.

Durch die thermische Bewegung der Elektronen entsteht ein temperaturabhäniger Rauschstrom, der als Widerstandsrauschen bezeichnet wird.

[bearbeiten] Reihen- und Parallelschaltung

[bearbeiten] Reihenschaltung

Werden n Widerstände in Reihe geschaltet, so addieren sich die Widerstände:

<math>

{R_{\rm ges} = \sum_{k=1}^{n} R_k = R_1 + R_2 + \dots + R_n = {1 \over G_1} + {1 \over G_2} + \dots + {1 \over G_n}} </math>

Veranschaulichen kann man sich dieses an zwei Widerständen, die sich nur in der Länge unterscheiden.

Die Reihenschaltung ergibt einen Widerstandskörper der Länge l₁ + l₂. Dann gilt:

<math>

R = \rho \cdot {{l_1+l_2} \over A} = \rho \cdot {l_1 \over A} + \rho \cdot {l_2 \over A} = R_1 + R_2 </math>

[bearbeiten] Parallelschaltung

Bei der Parallelschaltung von n Widerständen addieren sich die Leitwerte beziehungsweise die reziproken Widerstände:

<math>

{1\over R_{\rm ges}} = \sum_{k=1}^{n} {1\over R_k} = {1\over R_1} + {1\over R_2} + \dots + {1\over R_n} </math>

alternative Schreibweise:

<math>

R_{\rm ges}=R_1 \Vert R_2 \Vert \dots \Vert R_n </math>

Formel für zwei parallele Widerstände:

<math>

R_{\rm ges}=\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2} </math>

Schreibweise als Leitwerte:

<math>

G_{\rm ges} = G_1 + G_2 + \dots + G_n </math>

Der Leitwert ist der Kehrwert des Widerstandes, seine SI-Einheit ist das reziproke Ohm, das auch den besonderen Namen Siemens führt.

Man veranschaulicht sich diesen Zusammenhang an der Parallelschaltung zweier Widerstände, die sich nur in ihrer Querschnittsfläche A unterscheiden.

Man erhält einen Widerstand vom Gesamtquerschnitt A₁ + A₂, also gilt:

<math>

R = \rho \cdot { l \over {A_1 + A_2}} </math> und daher

<math>

{ 1 \over R } = {{A_1 + A_2} \over {\rho \cdot l }} = {{A_1} \over {\rho \cdot l }} + {{A_2} \over {\rho \cdot l }}= {1 \over R_1} + {1 \over R_2} </math>

Sind in einer Parallelschaltung nur Widerstände eines gleichen Wertes vorhanden, (<math>{R_{\rm n}} = R_1 = R_2 = R_3 \dots</math>) so kann der Gesamtwiderstand errechnet werden, indem man den Einzelwiderstand durch die Anzahl der Widerstände in der Schaltung dividiert.

<math>

{R_{\rm ges}} = \frac{R_n}{n} </math>

<math>R_n</math> = Einzelwiderstand

<math>n</math> = Anzahl der Widerstände

[bearbeiten] Differentieller Widerstand

Bei nichtlinearen Strom-Spannungs-Kennlinien - wie zum Beispiel von Dioden - ist der Quotient für jedes Strom-Spannungspaar unterschiedlich. In diesem Fall gilt das ohmsche Gesetz nicht und man kann nicht von einem ohmschen Widerstand R sprechen. Kleine Spannungsänderungen sind jedoch näherungsweise proportional zu kleinen Stromänderungen. Der Quotient aus kleiner Spannungsänderung und zugehöriger Stromänderung bei einer bestimmten Spannung wird als differentieller Widerstand r bezeichnet. In einem Diagramm, in dem U über I aufgetragen wird, entspricht er der Steigung der Tangente am betrachteten Punkt der Kennlinie.

<math>

r = \frac{\mathrm{d}\,u}{\mathrm{d}i} </math>

[bearbeiten] Negativer differentieller Widerstand

Strom- Spannungscharakteristik einer Tunneldiode

Der differentielle Widerstand kann in einem Teil der Kennlinie negativ sein, so dass die Stromstärke bei steigender Spannung sinkt beziehungsweise die Stromstärke bei sinkender Spannung steigt. Im Bild ist das im Bereich V_P < V < V_V der Fall. Ein negativer differentieller Widerstand kann zum Anregen (Entdämpfen) von Schwingkreisen oder zur Erzeugung von Kippschwingungen verwendet werden (Oszillator). Der negative differentielle Widerstand tritt zum Beispiel bei Gasentladungen, Bauteilen wie Avalanche- oder Tunneldioden auf, aber auch bei komplexeren Modulen wie z.B. Schaltnetzteilen auf der Eingangsseite.

[bearbeiten] Positiver differentieller Widerstand

Bei positiven differentiellen Widerständen nimmt der Strom mit zunehmender Spannung zu. Alle real existierenden Schaltungselemente besitzen in einem Teil ihrer Kennlinie, jedoch stets für sehr große Werte, einen positiven differentiellen Widerstand. Die meisten Elemente in der Schaltungstechnik besitzen einen ausschließlich positiven differentiellen Widerstand.

Beispiele: realer Widerstand, Diode, Zener-Diode, alle halbleitenden Keramiken.

[bearbeiten] Supraleitung

Unterhalb einer spezifischen Sprungtemperatur besitzt ein supraleitungsfähiges Material praktisch keinen ohmschen Widerstand. Ein solches Material wird als Supraleiter bezeichnet, weil der Strom in ihm bei dieser tiefen Temperatur ohne Verluste fließt.